เทคนิคการสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าและดาวทอง : กรณี อาศัยรูปสี่เหลี่ยมทอง และรูปสามเหลี่ยมทอง

บทคัดย่อ

หลักการสร้างรูปเรขาคณิต ต้องใช้เฉพาะวงเวียนและสันตรงเท่านั้น นอกจากนี้เกาส์ (Gauss) นักคณิตศาสตร์ระดับ 1 ใน 3 ของโลกได้ค้นพบทฤษฎีที่เกี่ยวกับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ที่มีจำนวนเหลี่ยมเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะสร้างได้ก็ต่อเมื่อจำนวนเหลี่ยมต้องอยู่ในรูป f(n) =  โดย n คือตัวเลขในลำดับเลขคณิตที่เริ่มต้นจาก 0 แล้วเพิ่มที่ละ 1 เช่น เมื่อ n = 0 คือ สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า n = 1 และ n = 2 คือ การสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า และรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าตามลำดับ เป็นต้น

       แต่ในบทความนี้ จะเน้นเฉพาะเทคนิคการสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า อีกวิธีหนึ่งที่ต่างไปจากวิธีสร้างแบบดั้งเดิม ที่ไม่ได้กำหนดความยาวด้านไว้ล่วงหน้า เพราะจะสร้างได้ยากกว่าปกติ ส่วนวิธีแบบใหม่นี้สามารถกำหนดความยาวด้านไว้ล่วงหน้าและจะอาศัยอัตราส่วนทอง คือ 1.618 : 1 โดยเริ่มต้นจากการสร้างรูปสี่เหลี่ยมทอง แล้วใช้ด้านกว้างของรูปสี่เหลี่ยมทองเป็นด้านฐานของรูปสามเหลี่ยมทอง จากนั้นจะใช้มุมยอดของสามเหลี่ยมทองซึ่งกาง 36^º เป็นหลักในการสร้างมุมภายในของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ซึ่งกาง 108 ^º และจะมีความยาวของด้านเท่ากับความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมทองเช่นกัน มีผลทำให้สร้างรูปดาวทองซ้อนขึ้นมาด้วย เทคนิควิธีนี้จะช่วยให้จดจำวิธีสร้างตามที่กำหนดความยาวด้านไว้ล่วงหน้า และเข้าใจเหตุผลเกี่ยวกับความยาวด้านรวมทั้งมุมภายในของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้ง่าย